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Introducción a los Sistemas Dinámicos

El término “dinámico” lo asociamos directamente con  “cambio en el tiempo”.  Por otro lado, un sistema se define como un conjunto de elementos  relacionados entre sí que interactúan para lograr un objetivo en común.  Uniendo ambos términos no es complicado plantear una primera definición, aunque no será la definitiva. Momentáneamente llamaremos “Sistemas Dinámicos”, a aquellos sistemas en los cuales se estudia la evolución de sus variables en el tiempo.

¿Por qué planteamos que esta no es la defini ión final a la Teoría de SD?

La evolución de un sistema a largo plazo en el tiempo, puede ser muy variada en cada caso. Muchos sistemas evolucionan de una manera muy sencilla y otros lo hacen de una manera muy complicada. A los primeros los llamaremos Sistemas Determinísticos, los cuales son fácilmente predecibles,  y a los segundos Sistemas Complejos, de una predictibilidad difícil de determinar. Por ejemplo, si estudiamos la trayectoria de un auto que recorre una ruta rectilínea a una velocidad constante de 1 m/s, no resulta para nada complicado deducir cuantos metros habrá recorrido en una hora. Si bien la definición original que dimos aceptaría a este sistema como dinámico, ya que se estudia la evolución de la variable “posición” en función el tiempo, no son los tipos de sistemas de los cuales se ocupa la Teoría de SD. Ahora, si en cambio estudiamos la predictibilidad del Clima Meteorológico o la cantidad de células infectadas por un virus a lo largo del tiempo, veremos que ya su evolución y dinámica pasa a ser sumamente compleja y difícil de predecir.

En este punto, podemos comenzar a sospechar, que la Teoría de SD estudia aquellos sistemas que poseen una evolución compleja a largo plazo en el tiempo. Lo cual es cierto, pero aún falta un punto fundamental para poder dar la definición final. Y es justamente este aspecto el que transforma a los SD  en un departamento de vanguardia  de la Matemática Aplicada, brindando poderosas técnicas de análisis. Estamos hablando de los objetivos de estudio una vez obtenido un modelo.

Supongamos que  nuestro modelo consta de un sistema de tres ecuaciones diferenciales. Un estudio tradicional, ya sea proveniente del campo de la Física, Química o Biología, enfocaría el análisis en encontrar la solución más exacta posible al mencionado sistema de ecuaciones, seguramente determinando algún margen de error. De esta manera se busca hacer un modelo de predicción para algún momento futuro.

La Teoría de SD, por el contario, no busca soluciones exactas ni aproximadas a dichos modelos, sino que busca patrones, estructuras, puntos clave a partir de los cuales el sistema se torna más estable o inestable o su sensibilidad a las condiciones iniciales. Mediante este tipo de análisis, trabajamos con herramientas que nos permiten ejercer cierto control sobre el sistema, por mas azarosa y compleja que pueda parecernos su dinámica evolutiva.

Ahora sí podemos plantear nuestra definición: